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<!DOCTYPE html>

<title>Momentenmethode</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Momentenmethode</h1>

</header>

</div>

Die Momentenmethode ist eine <a href="Sch%C3%A4tzmethode_(Statistik)" title="Schätzmethode (Statistik)">Schätzmethode</a> in der <a href="Mathematische_Statistik" title="Mathematische Statistik">mathematischen Statistik</a> und dient der Gewinnung von <a href="Sch%C3%A4tzfunktion" title="Schätzfunktion">Schätzfunktionen</a>. Die mittels der Momentenmethode gewonnenen Schätzer werden als Momentenschätzer bezeichnet. Die Momentenmethode ist im Allgemeinen einfach anzuwenden, die gewonnenen Schätzer erfüllen aber nicht immer gängige <a href="Optimalit%C3%A4tskriterium" title="Optimalitätskriterium">Optimalitätskriterien</a>.<a href="#cite_note-Czado77-1">[1]</a> So müssen Momentenschätzer weder eindeutig noch <a href="Erwartungstreue" title="Erwartungstreue">erwartungstreu</a> sein. Der Momentenmethode liegt die Idee zugrunde, dass die <a href="Moment_(Stochastik)" title="Moment (Stochastik)">Momente einer Zufallsvariable oder Wahrscheinlichkeitsverteilung</a> durch die <a href="Stichprobenmoment" class="mw-redirect" title="Stichprobenmoment">Stichprobenmomente</a> geschätzt werden können. Ist dann allgemeiner eine zu schätzende Funktion als Funktion der Momente (der Zufallsvariable oder Wahrscheinlichkeitsverteilung) gegeben, so erhält man einen Schätzer, indem man diese Momente durch die Stichprobenmomente ersetzt.

Die Momentenmethode wurde erstmals 1894 von <a href="Karl_Pearson" title="Karl Pearson">Karl Pearson</a> verwendet<a href="#cite_note-eommoments-2">[2]</a> und kann als Spezialfall des <a href="Substitutionsprinzip_(Statistik)" title="Substitutionsprinzip (Statistik)">Substitutionsprinzips</a> aufgefasst werden.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Vorgehen">Vorgehen</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Rahmenbedingungen">Rahmenbedingungen</h3></div>

Gegeben sei eine Familie von <a href="Wahrscheinlichkeitsma%C3%9F" title="Wahrscheinlichkeitsmaß">Wahrscheinlichkeitsmaßen</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (P_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (P_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2a51966ae7270be088760cf5b417d19db4c98fe2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.084ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (P_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta }}" loading="lazy"> auf den <a href="Reelle_Zahl" title="Reelle Zahl">reellen Zahlen</a>, die mit einer beliebigen <a href="Indexmenge_(Mathematik)" title="Indexmenge (Mathematik)">Indexmenge</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Theta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Theta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bc927b19f46d005b4720db7a0f96cd5b6f1a0d9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.808ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Theta }" loading="lazy"> indiziert ist. Es bezeichne <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{\vartheta }^{n}}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{\vartheta }^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c2d199911a8b74650cf06be9b37c38867a3c924e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.04ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle P_{\vartheta }^{n}}" loading="lazy"> das n-fache <a href="Produktma%C3%9F" title="Produktmaß">Produktmaß</a> der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{\vartheta }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{\vartheta }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4a035875f3f7766b93af51105313b364f91a9c4b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.696ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P_{\vartheta }}" loading="lazy">.

Das <a href="Statistisches_Modell" title="Statistisches Modell">statistische Modell</a> sei gegeben als das <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy">-fache <a href="Produktmodell_(Statistik)" title="Produktmodell (Statistik)">Produktmodell</a>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}),(P_{\vartheta }^{n})_{\vartheta \in \Theta })}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/99770b797e14e5ce8b6ab048fe91be9269059125.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:21.451ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}),(P_{\vartheta }^{n})_{\vartheta \in \Theta })}" loading="lazy">.</dd></dl>

Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X=(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X=(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c20d0febe4cc0f5412c8b3ab6ba41845fae1a9d9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.2ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle X=(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})}" loading="lazy">, wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af4a0955af42beb5f85aa05fb8c07abedc13990d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.724ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X_{i}}" loading="lazy"> die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}" loading="lazy">-te <a href="Stichprobenvariable" class="mw-redirect" title="Stichprobenvariable">Stichprobenvariable</a> ist. Die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af4a0955af42beb5f85aa05fb8c07abedc13990d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.724ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X_{i}}" loading="lazy"> sind also <a href="Unabh%C3%A4ngig_und_identisch_verteilte_Zufallsvariablen" title="Unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen">unabhängig und identisch verteilt</a>. Es bezeichne <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {E} _{\vartheta }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {E} _{\vartheta }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9fc0ddb85c93ae8ffccd7f34b7db4ab0c9d9598a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.787ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {E} _{\vartheta }}" loading="lazy"> die Bildung des <a href="Erwartungswert" title="Erwartungswert">Erwartungswertes</a> bezüglich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{\vartheta }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{\vartheta }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4a035875f3f7766b93af51105313b364f91a9c4b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.696ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P_{\vartheta }}" loading="lazy"> und

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m_{j}(\vartheta )=\operatorname {E} _{\vartheta }(X_{1}^{j})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fe22b65f33707ee93d09a7f38170e8149029ba2f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:16.806ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle m_{j}(\vartheta )=\operatorname {E} _{\vartheta }(X_{1}^{j})}" loading="lazy"></dd></dl>

das <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle j}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle j}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2f461e54f5c093e92a55547b9764291390f0b5d0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.027ex; width:0.985ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle j}" loading="lazy">-te <a href="Moment_(Stochastik)" title="Moment (Stochastik)">Moment</a> einer nach <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{\vartheta }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{\vartheta }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4a035875f3f7766b93af51105313b364f91a9c4b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.696ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P_{\vartheta }}" loading="lazy"> verteilten Zufallsvariable bzw. des Wahrscheinlichkeitsmaßes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{\vartheta }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{\vartheta }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4a035875f3f7766b93af51105313b364f91a9c4b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.696ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P_{\vartheta }}" loading="lazy">. Des Weiteren sei

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m_{j}(X)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}^{j}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e181e5c69a256f5729528ea2c79af858a7f6d50d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:19.104ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle m_{j}(X)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}^{j}}" loading="lazy"></dd></dl>

das <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle j}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle j}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2f461e54f5c093e92a55547b9764291390f0b5d0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.027ex; width:0.985ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle j}" loading="lazy">-te <a href="Stichprobenmoment" class="mw-redirect" title="Stichprobenmoment">Stichprobenmoment</a> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Methode">Methode</h3></div>

Geschätzt werden soll eine Funktion

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q\colon \Theta \to \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/546c4523ab07b52b12f975422237d072b9d15713.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.204ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle q\colon \Theta \to \mathbb {R} }" loading="lazy">,</dd></dl>

die im Falle eines <a href="Parametrisches_Modell_(Statistik)" class="mw-redirect" title="Parametrisches Modell (Statistik)">parametrischen Modells</a> auch als <a href="Parameterfunktion_(Statistik)" title="Parameterfunktion (Statistik)">Parameterfunktion</a> bezeichnet wird. Es gelten die folgenden Voraussetzungen:

<ul><li>Es existiert ein <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k\in \mathbb {N} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k\in \mathbb {N} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2a5bc4b7383031ba693b7433198ead7170954c1d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.73ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k\in \mathbb {N} }" loading="lazy">, so dass für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \vartheta \in \Theta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \vartheta \in \Theta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bec0011b0631782a18328c0582af915b43a061ca.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.023ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \vartheta \in \Theta }" loading="lazy"> und alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle j\leq k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle j\leq k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/92f39ddd5ca00e7daa67a5ff8b5de690f1344aee.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.027ex; width:5.294ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle j\leq k}" loading="lazy"> die Momente <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m_{j}(\vartheta )}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m_{j}(\vartheta )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4e9e80759e683d3ed83902c69bac0358e90a8217.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:6.133ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle m_{j}(\vartheta )}" loading="lazy"> existieren.</li>

<li>Es existiert eine <a href="Stetige_Funktion" title="Stetige Funktion">stetige Funktion</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g\colon \mathbb {R} ^{k}\to \mathbb {R} }">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g\colon \mathbb {R} ^{k}\to \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e466d12e2950e28735265d28d030d3366544d87c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.209ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle g\colon \mathbb {R} ^{k}\to \mathbb {R} }" loading="lazy">, so dass</li></ul>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q(\vartheta )=g{\bigl (}m_{1}(\vartheta ),m_{2}(\vartheta ),\dots ,m_{k}(\vartheta ){\bigr )}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f4d4f35af6e50bb5a27249e6c367e08a35a4ddc0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:35.677ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle q(\vartheta )=g{\bigl (}m_{1}(\vartheta ),m_{2}(\vartheta ),\dots ,m_{k}(\vartheta ){\bigr )}}" loading="lazy">.</dd></dl></dd></dl>

Die zu schätzende Funktion lässt sich also als Funktion der Momente darstellen.

Dann ist

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {q}}(X):=g{\bigl (}m_{1}(X),m_{2}(X),\dots ,m_{k}(X){\bigr )}=g\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i},{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}^{2},\dots ,{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}^{k}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81c1641381e2969b6346919890a6c8d8c1afca19.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:81.492ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle {\hat {q}}(X):=g{\bigl (}m_{1}(X),m_{2}(X),\dots ,m_{k}(X){\bigr )}=g\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i},{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}^{2},\dots ,{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}^{k}\right)}" loading="lazy"></dd></dl>

eine <a href="Sch%C3%A4tzfunktion" title="Schätzfunktion">Schätzfunktion</a> für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.07ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q}" loading="lazy">.

Man erhält also eine Schätzfunktion, indem man in der zu schätzenden Funktion die Momente <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m_{j}(\vartheta )}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m_{j}(\vartheta )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4e9e80759e683d3ed83902c69bac0358e90a8217.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:6.133ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle m_{j}(\vartheta )}" loading="lazy"> der Wahrscheinlichkeitsverteilungen durch die Stichprobenmomente <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m_{j}(X)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m_{j}(X)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4d0be6ab1347999e070c2dd0db20d7e1ff8ae445.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:6.739ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle m_{j}(X)}" loading="lazy"> ersetzt.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beispiele">Beispiele</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Schätzung_des_Erwartungswertes">Schätzung des Erwartungswertes</h3></div>

Es soll der Erwartungswert einer Stichprobe geschätzt werden. Aufgrund mangelnder Informationen über die Struktur möglicher Wahrscheinlichkeitsverteilungen wählt man als Familie von Wahrscheinlichkeitsmaßen alle Wahrscheinlichkeitsmaße mit endlichem Erwartungswert, versehen mit einer beliebigen Indexmenge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Theta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Theta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bc927b19f46d005b4720db7a0f96cd5b6f1a0d9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.808ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Theta }" loading="lazy">. Es handelt sich bei dem entsprechenden Produktmodell also um ein nichtparametrisches Modell. Aus der Indizierung kann keinerlei Schluss über den Erwartungswert gezogen werden oder umgekehrt.

Geschätzt werden soll der Erwartungswert, die zu schätzende Funktion ist also

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q(\vartheta )=\operatorname {E} _{\vartheta }(Y)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3eeb0290c0ee3d570d2ac3a8b7fa65f24d8ca598.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.72ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle q(\vartheta )=\operatorname {E} _{\vartheta }(Y)}" loading="lazy"></dd></dl>

Als Darstellung durch die Momente findet sich

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q(\vartheta )=m_{1}(\vartheta )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8a804de956adb7a9d668e65668461932447abd9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.629ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle q(\vartheta )=m_{1}(\vartheta )}" loading="lazy">,</dd></dl>

da der Erwartungswert genau das erste Moment ist. Per Definition der Wahrscheinlichkeitsverteilungen existiert dieser immer, es ist somit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k=1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6c035ffa69b5bca8bf2d16c3da3aaad79a8bcbfa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.472ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k=1}" loading="lazy">. Gesucht ist nun eine Darstellung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.07ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q}" loading="lazy"> als Verkettung des ersten Moments und einer unbekannten stetigen Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.116ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g}" loading="lazy">. Diese ergibt sich trivialerweise als

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g(x)=x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cbbcdeb274573ed78ada04c0038bf0bcb0c6d806.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.683ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle g(x)=x}" loading="lazy">,</dd></dl>

da

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g(m_{1}(\vartheta ))=m_{1}(\vartheta )=q(\vartheta )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8e805f83c59892fa33d1e30584cef818e336ba1f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.93ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle g(m_{1}(\vartheta ))=m_{1}(\vartheta )=q(\vartheta )}" loading="lazy">.</dd></dl>

Das Einsetzen des ersten Stichprobenmoments

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m_{1}(X)={\tfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5491caa3920c6ad6c9967f1f6ae569bd55c7f57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:18.658ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle m_{1}(X)={\tfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}" loading="lazy"></dd></dl>

in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.116ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g}" loading="lazy"> liefert somit als Schätzfunktion für den Erwartungswert das <a href="Stichprobenmittel" title="Stichprobenmittel">Stichprobenmittel</a>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {q}}(X)=g(m_{1}(X))={\tfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}={\overline {X}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/349f86a75f4107c1d6aaf0ad58d3f62ce2425379.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:35.078ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle {\hat {q}}(X)=g(m_{1}(X))={\tfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}={\overline {X}}}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Schätzung_der_Varianz">Schätzung der Varianz</h3></div>

Analog zu oben soll nun ohne weiteres Vorwissen die Varianz geschätzt werden. Die Familie von Wahrscheinlichkeitsmaßen ist demnach so gewählt, dass alle eine endliche Varianz besitzen und mit einer Indexmenge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Theta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Theta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bc927b19f46d005b4720db7a0f96cd5b6f1a0d9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.808ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Theta }" loading="lazy"> indiziert sind.

Zu schätzende Funktion ist die Varianz, also

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q(\theta )=\operatorname {Var} _{\theta }(Y)=\operatorname {E} _{\vartheta }(Y^{2})-(\operatorname {E} _{\vartheta }(Y))^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/747cc5c0034edf5fdd6d06297ecfbc452440cfee.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:38.193ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle q(\theta )=\operatorname {Var} _{\theta }(Y)=\operatorname {E} _{\vartheta }(Y^{2})-(\operatorname {E} _{\vartheta }(Y))^{2}}" loading="lazy"></dd></dl>

nach dem <a href="Verschiebungssatz_(Statistik)" title="Verschiebungssatz (Statistik)">Verschiebungssatz</a>. Es ist also

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q(\vartheta )=m_{2}(\vartheta )-m_{1}(\vartheta )^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/70facb2581e55cf87c36aaacfaa49ecb9b9de873.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.801ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle q(\vartheta )=m_{2}(\vartheta )-m_{1}(\vartheta )^{2}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Die Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.07ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q}" loading="lazy"> lässt sich also als Verkettung der ersten beiden Momente und der stetigen Funktion

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g(x_{1},x_{2})=x_{2}-x_{1}^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8c7c1785893c56888a6f92f9dc0450bf97a3f762.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:19.434ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle g(x_{1},x_{2})=x_{2}-x_{1}^{2}}" loading="lazy"></dd></dl>

schreiben. Substituiert man die Momente der Wahrscheinlichkeitsverteilungen durch die Stichprobenmomente, so erhält man

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

<mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {q}}(X)=m_{2}(X)-\left(m_{1}(X)\right)^{2}={\tfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}^{2}-\left({\tfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)^{2}={\tfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5554dfe215cb8358e6e1bffe510f9811a47f816a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:75.311ex; height:8.009ex;" alt="{\displaystyle {\hat {q}}(X)=m_{2}(X)-\left(m_{1}(X)\right)^{2}={\tfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}^{2}-\left({\tfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)^{2}={\tfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})^{2}}" loading="lazy"></dd></dl>

mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {X}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {X}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/08fd87d3502c4f9e1b02ac74644474258aeea176.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.131ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {X}}}" loading="lazy"> wie oben als Schätzfunktion die (nicht korrigierte) <a href="Stichprobenvarianz_(Sch%C3%A4tzfunktion)" title="Stichprobenvarianz (Schätzfunktion)">Stichprobenvarianz</a>. Sie ist ein klassisches Beispiel für einen nicht <a href="Erwartungstreue" title="Erwartungstreue">erwartungstreuen</a> Momentenschätzer.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Allgemeine_Formulierung">Allgemeine Formulierung</h2></div>

Die oben genannte Fassung lässt sich wie folgt verallgemeinern:<a href="#cite_note-Rüschendorf171-3">[3]</a> Gegeben sei eine indizierte Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (P_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (P_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2a51966ae7270be088760cf5b417d19db4c98fe2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.084ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (P_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta }}" loading="lazy"> von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {A}})}">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {A}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/478d656144cecc9f1e5bbd8c4a14d4dd7092b82c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.622ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {A}})}" loading="lazy"> und sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ({\mathcal {X}}^{n},{\mathcal {A}}^{n},(P_{\vartheta }^{n})_{\vartheta \in \Theta })}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ({\mathcal {X}}^{n},{\mathcal {A}}^{n},(P_{\vartheta }^{n})_{\vartheta \in \Theta })}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5314cf47d7892fb230a9941d0dba9bdb571d3d40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:18.601ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle ({\mathcal {X}}^{n},{\mathcal {A}}^{n},(P_{\vartheta }^{n})_{\vartheta \in \Theta })}" loading="lazy"> das entsprechende Produktmodell. Sei für integrierbares <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi _{j}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi _{j}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4c39184756ccaadc76f44eb6d74a8ed59197a48.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.43ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \varphi _{j}}" loading="lazy">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{j}(\vartheta )=\operatorname {E} _{\vartheta }(\varphi _{i}(Y))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e623e5386474b06974e5052788663ff6f52ba25e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:18.919ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle a_{j}(\vartheta )=\operatorname {E} _{\vartheta }(\varphi _{i}(Y))}" loading="lazy"></dd></dl>

das j-te verallgemeinerte Moment und sei

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q(\vartheta )=g(a_{1}(\vartheta ),a_{2}(\vartheta ),\dots ,a_{n}(\vartheta ))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ecf044a9a721ac3720dfa78ff395387cf58bf35f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:33.054ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle q(\vartheta )=g(a_{1}(\vartheta ),a_{2}(\vartheta ),\dots ,a_{n}(\vartheta ))}" loading="lazy"></dd></dl>

die zu schätzende Funktion. Dann ist

<mover>

</mover>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {q}}(X)=g\left({\tfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\varphi _{1}(X_{i}),{\tfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\varphi _{2}(X_{i}),\dots ,{\tfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\varphi _{k}(X_{i})\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f960a573947c03e2de965cfbb956fc10b89a196b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:58.873ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle {\hat {q}}(X)=g\left({\tfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\varphi _{1}(X_{i}),{\tfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\varphi _{2}(X_{i}),\dots ,{\tfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\varphi _{k}(X_{i})\right)}" loading="lazy"></dd></dl>

eine Schätzfunktion für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.07ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q}" loading="lazy">. Der oben beschriebene Spezialfall folgt mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi _{j}(x)=x^{j}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi _{j}(x)=x^{j}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/38a41aee1a5e4429530aff376bee437507c4323d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:10.907ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \varphi _{j}(x)=x^{j}}" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Eigenschaften">Eigenschaften</h2></div>

Für stetige Funktionen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.116ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g}" loading="lazy"> sind Momentenschätzer <a href="Konsistente_Sch%C3%A4tzfolge" title="Konsistente Schätzfolge">stark konsistent</a>. Dies folgt direkt aus dem <a href="Starkes_Gesetz_der_gro%C3%9Fen_Zahlen" title="Starkes Gesetz der großen Zahlen">starken Gesetz der großen Zahlen</a>. Für reelle und differenzierbare <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.116ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g}" loading="lazy"> sind Momentenschätzer auch <a href="Asymptotische_Normalit%C3%A4t" title="Asymptotische Normalität">asymptotisch normal</a>.<a href="#cite_note-Rüschendorf172-4">[4]</a> Sie sind aber im Allgemeinen nicht <a href="Erwartungstreue" title="Erwartungstreue">erwartungstreu</a>, wie die oben im Beispiel hergeleitete unkorrigierte Stichprobenvarianz zeigt.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>Ludger Rüschendorf: <cite style="font-style:italic">Mathematische Statistik</cite>. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, S. 170–173, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-642-41997-3">10.1007/978-3-642-41997-3</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Momentenmethode&rft.au=Ludger+R%C3%BCschendorf&rft.btitle=Mathematische+Statistik&rft.date=2014&rft.doi=10.1007%2F978-3-642-41997-3&rft.genre=book&rft.isbn=9783642419966&rft.pages=170-173&rft.place=Berlin+Heidelberg&rft.pub=Springer+Verlag" style="display:none"> </li>

<li>Claudia Czado, Thorsten Schmidt: <cite style="font-style:italic">Mathematische Statistik</cite>. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-17260-1, S. 71–77, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-642-17261-8">10.1007/978-3-642-17261-8</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Momentenmethode&rft.au=Claudia+Czado%2C+Thorsten+Schmidt&rft.btitle=Mathematische+Statistik&rft.date=2011&rft.doi=10.1007%2F978-3-642-17261-8&rft.genre=book&rft.isbn=9783642172601&rft.pages=71-77&rft.place=Berlin+Heidelberg&rft.pub=Springer-Verlag" style="display:none"> </li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

Claudia Czado, Thorsten Schmidt: <cite style="font-style:italic">Mathematische Statistik</cite>. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-17260-1, S. 77, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-642-17261-8">10.1007/978-3-642-17261-8</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Momentenmethode&rft.au=Claudia+Czado%2C+Thorsten+Schmidt&rft.btitle=Mathematische+Statistik&rft.date=2011&rft.doi=10.1007%2F978-3-642-17261-8&rft.genre=book&rft.isbn=9783642172601&rft.pages=77&rft.place=Berlin+Heidelberg&rft.pub=Springer-Verlag" style="display:none">

</li>

A.V. Prokhorov: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Moments, method of (in probability theory)</cite>. In: <a href="Michiel_Hazewinkel" title="Michiel Hazewinkel">Michiel Hazewinkel</a> (Hrsg.): <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic"><a href="Encyclopedia_of_Mathematics" class="mw-redirect" title="Encyclopedia of Mathematics">Encyclopedia of Mathematics</a></cite>. Springer-Verlag und <a href="European_Mathematical_Society" title="European Mathematical Society">EMS</a> Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Moments,_method_of_%28in_probability_theory%29">encyclopediaofmath.org</a>).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Momentenmethode&rft.atitle=Moments%2C+method+of+%28in+probability+theory%29&rft.au=A.V.+Prokhorov&rft.btitle=Encyclopedia+of+Mathematics&rft.date=2002&rft.genre=book&rft.isbn=1556080107&rft.place=Berlin&rft.pub=Springer-Verlag+und+EMS+Press" style="display:none">

</li>

Ludger Rüschendorf: <cite style="font-style:italic">Mathematische Statistik</cite>. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, S. 171, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-642-41997-3">10.1007/978-3-642-41997-3</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Momentenmethode&rft.au=Ludger+R%C3%BCschendorf&rft.btitle=Mathematische+Statistik&rft.date=2014&rft.doi=10.1007%2F978-3-642-41997-3&rft.genre=book&rft.isbn=9783642419966&rft.pages=171&rft.place=Berlin+Heidelberg&rft.pub=Springer+Verlag" style="display:none">

</li>

Ludger Rüschendorf: <cite style="font-style:italic">Mathematische Statistik</cite>. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, S. 172–173, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-642-41997-3">10.1007/978-3-642-41997-3</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Momentenmethode&rft.au=Ludger+R%C3%BCschendorf&rft.btitle=Mathematische+Statistik&rft.date=2014&rft.doi=10.1007%2F978-3-642-41997-3&rft.genre=book&rft.isbn=9783642419966&rft.pages=172-173&rft.place=Berlin+Heidelberg&rft.pub=Springer+Verlag" style="display:none">

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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</body></html>